07. Διαίρεση πολυωνύμων

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

20 Μάιος 2026

Τροποποιημένο

25 Μάιος 2026

1 Διαίρεση πολυωνύμων

Η διαίρεση πολυωνύμων διακρίνεται σε δύο βασικές περιπτώσεις: τη διαίρεση πολυωνύμου με μονώνυμο και τη διαίρεση πολυωνύμου με πολυώνυμο.

1.1 1. Διαίρεση Πολυωνύμου με Μονώνυμο

Για να διαιρέσουμε ένα πολυώνυμο με ένα μονώνυμο, διαιρούμε κάθε όρο του πολυωνύμου με το μονώνυμο και προσθέτουμε τα πηλίκα που βρίσκουμε.

* Το πηλίκο που προκύπτει είναι ακέραιο πολυώνυμο μόνο όταν κάθε όρος του διαιρετέου είναι διαιρετός με το μονώνυμο του διαιρέτη.

* Αν κάποιος όρος δεν είναι διαιρετός, το πηλίκο περιλαμβάνει κλασματικές παραστάσεις.

Παράδειγμα: \((9x^3y - 6x^4y^3 + 12x^2y^2) : (-3x^2y) = \frac{9x^3y}{-3x^2y} + \frac{-6x^4y^3}{-3x^2y} + \frac{12x^2y^2}{-3x^2y} = -3x + 2x^2y^2 - 4y\).

1.2 2. Διαίρεση Πολυωνύμου με Πολυώνυμο

Για δύο πολυώνυμα \(A\) (διαιρετέος) και \(B\) (διαιρέτης), όπου ο βαθμός του \(B\) είναι μικρότερος ή ίσος από τον βαθμό του \(A\), υπάρχουν πάντοτε δύο μοναδικά πολυώνυμα \(\Pi\) (πηλίκο) και \(Y\) (υπόλοιπο) τέτοια, ώστε να ισχύει η ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης: \(A = B \cdot \Pi + Y\).

  • Ο βαθμός του υπολοίπου \(Y\) είναι πάντα μικρότερος από τον βαθμό του διαιρέτη \(B\).
  • Αν \(Y = 0\), τότε η διαίρεση λέγεται τέλεια και λέμε ότι το \(A\) είναι διαιρετό με το \(B\) (\(A = B \cdot \Pi\)).

1.2.1 Η Διαδικασία της Διαίρεσης (Αλγόριθμος)

Για να εκτελέσουμε τη διαίρεση δύο πολυωνύμων μιας μεταβλητής \(x\), ακολουθούμε τα εξής βήματα:

1. Διάταξη: Γράφουμε τον διαιρετέο και τον διαιρέτη κατά τις φθίνουσες δυνάμεις της μεταβλητής \(x\).

2. Πρώτος όρος πηλίκου: Διαιρούμε τον πρώτο όρο του διαιρετέου με τον πρώτο όρο του διαιρέτη.

3. Πολλαπλασιασμός και Αφαίρεση: Πολλαπλασιάζουμε τον διαιρέτη με τον πρώτο όρο του πηλίκου και το γινόμενο αυτό το αφαιρούμε από τον διαιρετέο, βρίσκοντας το πρώτο μερικό υπόλοιπο.

4. Επανάληψη: Συνεχίζουμε την ίδια διαδικασία με το μερικό υπόλοιπο ως νέο διαιρετέο, μέχρι να φτάσουμε σε υπόλοιπο που έχει βαθμό μικρότερο από τον διαιρέτη.

1.3 3. Διαίρεση Πολυωνύμου με το Διώνυμο \(x - \alpha\)

Αυτή η ειδική περίπτωση διαίρεσης έχει ιδιαίτερη σημασία στην άλγεβρα:

* Θεώρημα Υπολοίπου: Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου \(P(x)\) με το διώνυμο \(x - \alpha\) είναι ίσο με την αριθμητική τιμή του πολυωνύμου για \(x = \alpha\), δηλαδή \(Y = P(\alpha)\).

* Συνθήκη Διαιρετότητας: Ένα πολυώνυμο \(P(x)\) διαιρείται ακριβώς με το \(x - \alpha\), αν και μόνο αν η αριθμητική του τιμή για \(x = \alpha\) είναι μηδέν (\(P(\alpha) = 0\)).

Παράδειγμα: Για να βρούμε το υπόλοιπο της διαίρεσης του \(P(x) = x^4 + x^3 - 3x^2 + 3x - 18\) με το \(x - 2\), υπολογίζουμε το \(P(2)\): \(P(2) = 2^4 + 2^3 - 3(2^2) + 3(2) - 18 = 16 + 8 - 12 + 6 - 18 = 0\). Επειδή \(P(2) = 0\), το πολυώνυμο διαιρείται ακριβώς με το \(x - 2\).

1.4 4. Αξιοσημείωτα Πηλίκα (Ταυτότητες)

Ορισμένες διαιρέσεις δίνουν τυποποιημένα αποτελέσματα που είναι χρήσιμο να γνωρίζουμε:

* \(x^3 - \alpha^3 = (x - \alpha)(x^2 + \alpha x + \alpha^2)\)

* \(x^3 + \alpha^3 = (x + \alpha)(x^2 - \alpha x + \alpha^2)\)

* Γενικά: \(x^\mu - \alpha^\mu\) διαιρείται πάντα με το \(x - \alpha\) για κάθε φυσικό αριθμό \(\mu\).

2 Το Θεώρημα Υπολοίπου

αποτελεί ένα ισχυρό εργαλείο για την παραγοντοποίηση πολυωνύμων, καθώς επιτρέπει τον εντοπισμό πρωτοβάθμιων παραγόντων χωρίς να απαιτείται η εκτέλεση της μακράς διαίρεσης.

Η βοήθειά του στην παραγοντοποίηση συνοψίζεται στα εξής σημεία:

2.1 1. Έλεγχος Διαιρετότητας (Συνθήκη \(P(\alpha) = 0\))

Το θεώρημα ορίζει ότι το υπόλοιπο (\(Y\)) της διαίρεσης ενός πολυωνύμου \(P(x)\) με το διώνυμο \(x - \alpha\) ισούται με την αριθμητική τιμή του πολυωνύμου για \(x = \alpha\), δηλαδή \(Y = P(\alpha)\). Αν η αριθμητική τιμή του πολυωνύμου για έναν αριθμό \(\alpha\) είναι μηδέν (\(P(\alpha) = 0\)), τότε το υπόλοιπο είναι μηδέν, πράγμα που σημαίνει ότι το \(P(x)\) διαιρείται ακριβώς με το \(x - \alpha\).

2.2 2. Μετασχηματισμός σε Γινόμενο

Όταν επαληθευτεί ότι \(P(\alpha) = 0\), το πολυώνυμο μπορεί αμέσως να γραφτεί στη μορφή γινομένου: \(P(x) = (x - \alpha) \cdot \Pi(x)\) όπου \(\Pi(x)\) είναι το πηλίκο της διαίρεσης του \(P(x)\) με το \(x - \alpha\). Με αυτόν τον τρόπο, το πολυώνυμο “αναλύεται” σε απλούστερους παράγοντες.

2.3 3. Εύρεση Πιθανών Παραγόντων

Στην περίπτωση πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές και συντελεστή μεγιστοβάθμιου όρου τη μονάδα, το θεώρημα βοηθά στην αναζήτηση των παραγόντων \(x - \alpha\) ελέγχοντας μόνο τους διαιρέτες του σταθερού όρου. Υπολογίζοντας τις αριθμητικές τιμές του πολυωνύμου για αυτούς τους διαιρέτες, βρίσκουμε ποιες από αυτές το μηδενίζουν και άρα μας δίνουν παράγοντες της μορφής \(x - \alpha\).

2.4 4. Επίλυση Εξισώσεων Ανώτερου Βαθμού

Η παραγοντοποίηση μέσω του Θεωρήματος Υπολοίπου είναι απαραίτητη για τη λύση εξισώσεων ανώτερου βαθμού που έχουν τη μορφή \(P(x) = 0\). Αν το \(P(x)\) παραγοντοποιηθεί σε πρωτοβάθμιους παράγοντες \((x - \alpha)(x - \beta)... = 0\), τότε οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι αριθμοί \(\alpha, \beta, ...\) που μηδενίζουν το πολυώνυμο.

Παράδειγμα εφαρμογής:

Παράδειγμα 1 Για το πολυώνυμο \(Q(x) = x^4 - x^3 - 4x^2 - 2x - 12\), οι διαιρέτες του σταθερού όρου είναι οι \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12\). Διαπιστώνοντας ότι \(Q(-2) = 0\) και \(Q(3) = 0\), συμπεραίνουμε ότι το πολυώνυμο έχει παράγοντες τους \((x + 2)\) και \((x - 3)\), οπότε μπορεί να γραφτεί ως γινόμενο: \((x + 2)(x - 3)(x^2 + 2)\).

Παράδειγμα 2: Τέλεια Διαίρεση (Υπόλοιπο 0) Έστω το πολυώνυμο \(P(x) = x^3 - 5x^2 + 7x - 3\) και θέλουμε να το διαιρέσουμε με το διώνυμο \(x - 3\).

* Εδώ ο αριθμός \(\alpha\) είναι το 3.

* Υπολογίζουμε την αριθμητική τιμή \(P(3)\): \(P(3) = 3^3 - 5 \cdot 3^2 + 7 \cdot 3 - 3 = 27 - 45 + 21 - 3 = 0\).

* Επειδή η αριθμητική τιμή για \(x = 3\) είναι μηδέν, το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι 0 και λέμε ότι το πολυώνυμο διαιρείται ακριβώς με το \(x - 3\).

* Το πολυώνυμο μπορεί να γραφτεί ως γινόμενο: \(P(x) = (x - 3)(x^2 - 2x + 1)\).

Παράδειγμα 3: Διαίρεση με Υπόλοιπο Χρησιμοποιώντας το ίδιο πολυώνυμο \(P(x) = x^3 - 5x^2 + 7x - 3\), ας εξετάσουμε τη διαίρεση με το \(x - 2\).

* Εδώ ο αριθμός \(\alpha\) είναι το 2.

* Υπολογίζουμε την αριθμητική τιμή \(P(2)\): \(P(2) = 2^3 - 5 \cdot 2^2 + 7 \cdot 2 - 3 = 8 - 20 + 14 - 3 = -1\).

* Συνεπώς, το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι -1.

Συμπέρασμα: Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου \(P(x)\) με το \(x - \alpha\) ισούται πάντα με την τιμή \(P(\alpha)\).

2.5 Αλγόριθμος διαίρεσης

Γράφουμε τον διαιρετέο κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του x

  • Διαιρετέος (Α): \(4x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 2x + 1\) (Πλήρες πολυώνυμο 4ου βαθμού)

Αναλυτικά βήματα της διαίρεσης:

  1. Πρώτος όρος πηλίκου: Διαιρούμε τον πρώτο όρο του διαιρετέου με τον πρώτο του διαιρέτη: \(4x^4 : 2x^2 = \mathbf{2x^2}\)
  2. Πολλαπλασιασμός και Αφαίρεση: Πολλαπλασιάζουμε το \(2x^2\) με τον διαιρέτη (\(2x^2 - x + 1\)) και το αφαιρούμε από τον διαιρετέο: \((4x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 2x + 1) -\) \((4x^4 - 2x^3 + 2x^2) =\) \(-2x^3 + 3x^2 - 2x + 1\) (πρώτο μερικό υπόλοιπο).
  3. Δεύτερος όρος πηλίκου: Διαιρούμε τον πρώτο όρο του μερικού υπολοίπου με τον πρώτο του διαιρέτη: \(-2x^3 : 2x^2 = \mathbf{-x}\)
  4. Πολλαπλασιασμός και Αφαίρεση: Πολλαπλασιάζουμε το \(-x\) με τον διαιρέτη και αφαιρούμε: \((-2x^3 + 3x^2 - 2x + 1) - (-2x^3 + x^2 - x) =\) \(2x^2 - x + 1\) (δεύτερο μερικό υπόλοιπο).
  5. Τρίτος όρος πηλίκου: Διαιρούμε τον πρώτο όρο του νέου υπόλοιπου με τον πρώτο του διαιρέτη: \(2x^2 : 2x^2 = \mathbf{1}\)
  6. Τελικός Πολλαπλασιασμός: Πολλαπλασιάζουμε το \(1\) με τον διαιρέτη: \(1 \cdot (2x^2 - x + 1) = 2x^2 - x + 1\)
  7. Τελικό Υπόλοιπο: Αφαιρούμε το γινόμενο αυτό από το υπόλοιπο: \((2x^2 - x + 1) - (2x^2 - x + 1) = \mathbf{0}\).

Αποτέλεσμα:
* Πηλίκο: \(\Pi(x) = 2x^2 - x + 1\) * Υπόλοιπο: \(Y = 0\)

Η διαίρεση είναι τελεία και ισχύει η ταυτότητα της διαίρεσης:
\(4x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 2x + 1 =\)
\(=(2x^2 - x + 1)(2x^2 - x + 1) + 0\).



- Διαιρέτης (Β): \(2x^2 - x + 1\) (Πλήρες πολυώνυμο 2ου βαθμού)





\[\begin{array}{r | l} 4x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 2x + 1 & \underline{2x^2 - x + 1} \\ \underline{-(4x^4 - 2x^3+2x^2) \phantom{- 2x- 1}} & {2x^2} \\ - 2x^3 + 3x^2 -2x +1 & \\ \end{array}\]





\[\begin{array}{r | l} 4x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 2x + 1 & \underline{2x^2 - x + 1} \\ \underline{-(4x^4 - 2x^3+2x^2) \phantom{- 2x- 1}} & {2x^2-x} \\ - 2x^3 + 3x^2 -2x +1 & \\ \underline{-(- 2x^3 + x^2-x) \phantom{+1}} & \\ 2x^2 -x +1 & \\ \end{array}\]




\[\begin{array}{r | l} 4x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 2x + 1 & \underline{2x^2 - x + 1} \\ \underline{-(4x^4 - 2x^3+2x^2) \phantom{- 2x- 1}} & {2x^2-x+1} \\ - 2x^3 + 3x^2 -2x +1 & \\ \underline{-(- 2x^3 + x^2-x) \phantom{+1}} & \\ 2x^2 -x +1 & \\ \underline{-( 2x^2 - x+1) } & \\ 0 & \end{array}\]

Τέλεια Διαίρεση ελλιπούς πολυωνύμου Στο παράδειγμα αυτό, τόσο ο διαιρετέος όσο και ο διαιρέτης είναι ελλιπή πολυώνυμα.

  • Διαιρετέος (Α): \(-2x^4 + 8x^3 - 16x + 8\) (λείπει ο όρος \(x^2\))

Αναλυτικά βήματα:

  1. Διαιρούμε τον πρώτο όρο του διαιρετέου με τον πρώτο του διαιρέτη: \(-2x^4 : 2x^2 = \mathbf{-x^2}\) (πρώτος όρος πηλίκου).
  2. Πολλαπλασιάζουμε το \(-x^2\) με τον διαιρέτη και αφαιρούμε το γινόμενο (\(-2x^4 + 4x^2\)) από τον διαιρετέο. Προκύπτει το πρώτο μερικό υπόλοιπο: \(8x^3 - 4x^2 - 16x + 8\) (εδώ εμφανίζεται ο όρος \(x^2\) που έλειπε).
  3. Διαιρούμε το \(8x^3 : 2x^2 = \mathbf{4x}\) (δεύτερος όρος πηλίκου).
  4. Πολλαπλασιάζουμε το \(4x\) με τον διαιρέτη και αφαιρούμε το γινόμενο (\(8x^3 - 16x\)). Προκύπτει το δεύτερο μερικό υπόλοιπο: \(-4x^2 + 8\).
  5. Διαιρούμε το \(-4x^2 : 2x^2 = \mathbf{-2}\) (τρίτος όρος πηλίκου).
  6. Πολλαπλασιάζουμε το \(-2\) με τον διαιρέτη και αφαιρούμε το γινόμενο (\(-4x^2 + 8\)).
  7. Το τελικό υπόλοιπο είναι \(0\).

Αποτέλεσμα: Πηλίκο \(\Pi(x) = -x^2 + 4x - 2\) και Υπόλοιπο \(Y = 0\). Η διαίρεση είναι τέλεια.



* Διαιρέτης (Β): \(2x^2 - 4\) (λείπει ο όρος \(x\))



\[\begin{array}{r | l} -2x^4 +8x^3 +0x^2 - 16x + 8 & \underline{2x^2 + 0x -4} \\ \underline{-(2x^4 +0x^3+4x^2) \phantom{- 16x- 8}} & {-x^2} \\ 8x^3 -4x^2 -16x +8 & \\ \end{array}\]




\[\begin{array}{r | l} -2x^4 +8x^3 +0x^2 - 16x + 8 & \underline{2x^2 + 0x -4} \\ \underline{-(2x^4 +0x^3+4x^2) \phantom{- 16x- 8}} & {-x^2+4x} \\ 8x^3 -4x^2 -16x +8 & \\ \underline{-(8x^3 + 0x^2-16x) \phantom{+8}} & \\ -4x^2 -0x +8 & \\ \end{array}\]




\[\begin{array}{r | l} -2x^4 +8x^3 +0x^2 - 16x + 8 & \underline{2x^2 + 0x -4} \\ \underline{-(2x^4 +0x^3+4x^2) \phantom{- 16x- 8}} & {-x^2+4x-2} \\ 8x^3 -4x^2 -16x +8 & \\ \underline{-(8x^3 + 0x^2-16x) \phantom{+8}} & \\ -4x^2 -0x +8 & \\ \underline{-( -4x^2 +0x+8) } & \\ 0 & \end{array}\]

Ατελής Διαίρεση (μη τέλεια) πλήρους πολυωνύμου Στο παράδειγμα αυτό ο διαιρετέος είναι πλήρες πολυώνυμο 4ου βαθμού.

  • Διαιρετέος (Α): \(6x^4 - 2x^3 + 9x^2 - 2x - 2\)

Αναλυτικά βήματα:

  1. \(6x^4 : x^2 = \mathbf{6x^2}\) (1ος όρος πηλίκου).
  2. Αφαιρούμε το γινόμενο \(6x^2(x^2 + 2) = 6x^4 + 12x^2\). Προκύπτει μερικό υπόλοιπο: \(-2x^3 - 3x^2 - 2x - 2\).
  3. \(-2x^3 : x^2 = \mathbf{-2x}\) (2ος όρος πηλίκου).
  4. Αφαιρούμε το γινόμενο \(-2x(x^2 + 2) = -2x^3 - 4x\). Προκύπτει μερικό υπόλοιπο: \(-3x^2 + 2x - 2\).
  5. \(-3x^2 : x^2 = \mathbf{-3}\) (3ος όρος πηλίκου).
  6. Αφαιρούμε το γινόμενο \(-3(x^2 + 2) = -3x^2 - 6\).
  7. Το τελικό υπόλοιπο είναι \(2x + 4\).

Αποτέλεσμα: Πηλίκο \(\Pi(x) = 6x^2 - 2x - 3\) και Υπόλοιπο \(Y(x) = 2x + 4\). Η διαίρεση είναι ατελής.



* * Διαιρέτης (Β): \(x^2 + 2\)


\[\begin{array}{r | l} 6x^4 -2x^3 +9x^2 - 2x -2 & \underline{x^2 + 0x +2} \\ \underline{-(6x^4 +0x^3+12x^2) \phantom{ -2x- 2}} & {6x^2} \\ -2x^3 -3x^2 -2x -2 & \\ \end{array}\]



\[\begin{array}{r | l} 6x^4 -2x^3 +9x^2 - 2x -2 & \underline{x^2 + 0x +2} \\ \underline{-(6x^4 +0x^3+12x^2) \phantom{ -2x- 2}} & {6x^2-2x} \\ -2x^3 -3x^2 -2x -2 & \\ \underline{-(-2x^3 + 0x^2-4x) \phantom{-2}} & \\ -3x^2 +2x -2 & \\ \end{array}\]



\[\begin{array}{r | l} 6x^4 -2x^3 +9x^2 - 2x -2 & \underline{x^2 + 0x +2} \\ \underline{-(6x^4 +0x^3+12x^2) \phantom{ -2x- 2}} & {6x^2-2x-3} \\ -2x^3 -3x^2 -2x -2 & \\ \underline{-(-2x^3 + 0x^2-4x) \phantom{-2}} & \\ -3x^2 +2x -2 & \\ \underline{-(3x^2 +0x-6) } & \\ 2x+4 & \end{array}\]

Ατελής Διαίρεση ελλιπούς πολυωνύμου Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο συμπλήρωσης κενών με μηδενικά μονώνυμα , εξετάζουμε τη διαίρεση ενός ελλιπούς πολυωνύμου 4ου βαθμού:

  • Διαιρετέος (Α): \(x^4 + 1\) (λείπουν οι όροι \(x^3, x^2, x\), άρα γράφεται \(x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 0x + 1\))
  • Διαιρέτης (Β): \(x^2 + 1\)

Αναλυτικά βήματα: 1. \(x^4 : x^2 = \mathbf{x^2}\) (1ος όρος πηλίκου). 2. Πολλαπλασιάζουμε \(x^2(x^2 + 1) = x^4 + x^2\) και αφαιρούμε. Προκύπτει μερικό υπόλοιπο: \(-x^2 + 1\). 3. \(-x^2 : x^2 = \mathbf{-1}\) (2ος όρος πηλίκου). 4. Πολλαπλασιάζουμε \(-1(x^2 + 1) = -x^2 - 1\) και αφαιρούμε. 5. \((-x^2 + 1) - (-x^2 - 1) = 1 + 1 = \mathbf{2}\).

Αποτέλεσμα: Πηλίκο \(\Pi(x) = x^2 - 1\) και Υπόλοιπο \(Y = 2\). Η διαίρεση είναι ατελής και το πολυώνυμο ήταν ελλιπές.



* Διαιρέτης (Β): \(x^2 + 1\)


\[\begin{array}{r | l} x^4 +0x^3 +0x^2 +0x +1 & \underline{x^2 + 0x +1} \\ \underline{-(x^4 +0x^3+1x^2) \phantom{ +0x+1}} & {x^2} \\ -x^2 +0x+1 & \\ \end{array}\]



\[\begin{array}{r | l} x^4 +0x^3 +0x^2 +0x +1 & \underline{x^2 + 0x +1} \\ \underline{-(x^4 +0x^3+1x^2) \phantom{ +0x+1}} & {x^2-1} \\ -x^2 +0x+1 & \\ \underline{-(-x^2+0x-1) \phantom{}} & \\ 2 & \\ \end{array}\]


2.6 Ασκήσεις

2.6.1 Α. Διαίρεση Πολυωνύμου με Μονώνυμο

Σε αυτές τις ασκήσεις διαιρούμε κάθε όρο του πολυωνύμου με το μονώνυμο.

  1. \((12x^5 - 6x^4 - 3x^3) : (-3x^3)\)
  2. \((2x^3y^2 - 6x^2y^3 + 3x^2y^2) : (3x^2y^2)\)
  3. \((10x^2y^2 + 15x^5y^2 + 20x^3y^4) : (-5x^2y^2)\)
  4. \((\frac{2}{3}x^5y^2 - \frac{3}{2}x^2y^4 - x^3y^2) : (-\frac{1}{2}x^2y)\)
  5. \((20x^4 - 16x^3 - 7x^2) : (-2x^2)\) (Παράδειγμα όπου προκύπτει κλασματικός συντελεστής)

2.6.2 Β. Τέλεια Διαίρεση Πολυωνύμων (Υπόλοιπο 0)

Περιλαμβάνονται περιπτώσεις πλήρων και ελλιπών πολυωνύμων.

  1. \((15x^3 - 14x^2 + 7x + 6) : (5x + 2)\) (Πλήρη πολυώνυμα)
  2. \((-2x^4 + 8x^3 - 16x + 8) : (2x^2 - 4)\) (Ελλιπή πολυώνυμα)
  3. \((3x^3 - 8x^2 + 7x - 2) : (3x - 2)\)
  4. \((x^3 - \alpha^3) : (x - \alpha)\) (Ελλιπές πολυώνυμο ως προς x)
  5. \((x^2 + 7\alpha x + 12\alpha^2) : (x + 4\alpha)\)

2.6.3 Γ. Ατελής Διαίρεση Πολυωνύμων (Υπόλοιπο ≠ 0)

Εφαρμογή της ταυτότητας της διαίρεσης \(A = B \cdot \Pi + Y\).

  1. \((2x^2 + 13x - 27) : (x + 6)\)
  2. \((6x^4 - 2x^3 + 9x^2 - 2x - 2) : (x^2 + 2)\)
  3. \((x^3 + 4x^2 - 18x + 2) : (x^2 + 1)\)
  4. \((-3x^2 + 5x + x^3 - 6) : (x^2 - x + 3)\)
  5. \((x^4 - \frac{13}{6}x^3 + x^2 + \frac{4}{3}x - 2) : (\frac{4}{3}x - 2)\)

2.6.4 Δ. Διαίρεση με το Διώνυμο \(x - \alpha\) και Θεώρημα Υπολοίπου

Εύρεση υπολοίπου χωρίς τη διαδικασία της διαίρεσης, χρησιμοποιώντας την τιμή \(P(\alpha)\).

  1. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης \((x^2 - 3x + 2) : (x - 2)\)
  2. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης \((32x^5 + 1) : (2x + 1)\)
  3. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης \((x^3 + 3x^2 - 7x + 3) : (x - 1)\)
  4. Δείξτε ότι το πολυώνυμο \(P(x) = x^4 + x^3 - 3x^2 + 3x - 18\) διαιρείται ακριβώς με το \(x - 2\) (υπολογίστε το \(P(2)\)).
  5. Προσδιορίστε την τιμή του \(\lambda\), ώστε το πολυώνυμο \(P(x) = x^2 - 5x + 2\lambda\) να είναι διαιρετό με το \(x - 2\).

2.6.5 Ε. Διαιρέτης: Πλήρες Τριώνυμο (\(ax^2 + \beta x + \gamma\))

  1. \((x^3 - 3x^2 + 5x - 6) : (x^2 - x + 3)\)
  2. \((15x^4 + 2x^3 - 39x^2 - 16x + 10) : (3x^2 - 2x - 5)\)
  3. \((3x^4 - 7x^3y - 18x^2y^2 + 28xy^3 + 24y^4) : (3x^2 + 8xy + 4y^2)\)
  4. \((4x^4 - x^2 + 2x - 1) : (2x^2 - x + 1)\)
  5. \((x^4 - 3x^3y + 6x^2y^2 - 3xy^3 + y^4) : (x^2 - xy + y^2)\)
  6. \((3\alpha^{4x} + 14\alpha^{3x} + 9\alpha^x + 2) : (\alpha^{2x} + 5\alpha^x + 1)\)
  7. \((x^4 + x^2 + 1) : (x^2 + x + 1)\)

2.6.6 ΣΤ. Διαιρέτης: Ελλιπές Τριώνυμο (3 όροι με ενδιάμεσα κενά)

  1. \((x^6 - 1) : (x^4 + x^2 + 1)\) (Ο διαιρέτης είναι τριώνυμο 4ου βαθμού, ελλιπές ως προς τους όρους \(x^3\) και \(x\)).
  2. \((x^8 + x^4 + 1) : (x^4 - x^2 + 1)\) (Ο διαιρέτης είναι τριώνυμο 4ου βαθμού, ελλιπές ως προς τους όρους \(x^3\) και \(x\)).
  3. \((x^9 + x^6 + x^3) : (x^6 + x^3 + 1)\) (Διαίρεση όπου ο διαιρέτης είναι ελλιπές τριώνυμο 6ου βαθμού).
Συμβουλή

Συμβουλή για την επίλυση: Κατά την εκτέλεση της διαίρεσης, εάν ο διαιρετέος ή ο διαιρέτης είναι ελλιπή πολυώνυμα, συνιστάται να συμπληρώνετε τους όρους που λείπουν με μηδενικά μονώνυμα (π.χ. \(0x^3\)) ή να αφήνετε κενά διαστήματα για να διατηρείται η σωστή διάταξη των δυνάμεων κατά στήλες.

Σημείωση

Σημείωση: Κατά την εκτέλεση των διαιρέσεων με πολυώνυμα, θυμηθείτε να διατάσσετε τους όρους κατά τις φθίνουσες δυνάμεις της μεταβλητής και να συμπληρώνετε τα ελλιπή πολυώνυμα με μηδενικούς όρους (π.χ. \(0x^2\)) για ευκολία στους υπολογισμούς.

2.6.7 Ζ. Παράγοντας

α) Να αποδείξετε ότι το \(x + 1\) είναι παράγοντας του πολυωνύμου \(P(x) = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1\). β) Να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο.

Βρείτε το \(Ρ(-1)\). Αφού \(P(-1) = 0\), το \(x + 1\) είναι παράγοντας του πολυωνύμου. Κάντε την διαίρεση ……………….ή παρογοντοποιήστε με διαφορετικό τρόπο.

2.6.8 Η. (Παρόμοιας μορφής 3ου βαθμού)

α) Να αποδείξετε ότι το \(x + 1\) είναι παράγοντας του \(Q(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1\).

β) Να παραγοντοποιήσετε το \(Q(x)\).

2.6.9 Θ. (Παρόμοιας μορφής 2ου βαθμού)

α) Να αποδείξετε ότι το \(x + 1\) είναι παράγοντας του \(R(x) = x^2 + 2x + 1\).

β) Να παραγοντοποιήσετε το \(R(x)\).

2.6.10 Ι. (2ου βαθμού)

α) Να αποδείξετε ότι το \(x - 5\) είναι παράγοντας του πολυωνύμου \(P(x) = x^2 - 10x + 25\).

β) Να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο.

2.6.11 Κ. (3ου βαθμού)

α) Να αποδείξετε ότι το \(x - 2\) είναι παράγοντας του πολυωνύμου \(Q(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 8\).

β) Να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο.

2.6.12 Λ. (4ου βαθμού)

α) Να αποδείξετε ότι το \(x + 2\) είναι παράγοντας του πολυωνύμου \(R(x) = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16\).

β) Να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο.

\[\bbox[yellow, 5px]{\color{blue}\Large\text{---}}\]

ΣυμβουλήΕνέργεια
Συμβουλή

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ!